历史渊源
北宋数学家贾宪约在1050年左右，在其著作《黄帝九章算经细草》中，提出了“开方作法本源图”，这实际上就是杨辉三角的雏形。
此图为求解高次方程的数值解提供了重要方法，展示了贾宪对二项式系数规律的深刻理解，是中国数学史上的重要成就。
南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中，详细记载了“开方作法本源图”，并说明此图出自贾宪的《黄帝九章算经细草》。
杨辉对该图进行了深入研究和推广，使得这一成果更广泛地流传，后世便将其称为“杨辉三角”。
基本数值规律
①端点为1：杨辉三角的两条斜边都是由数字1组成，即每行的第一个数和最后一个数都为1。
②中间数规律：从第三行起，除了两端的1以外，每个数都是它上方两数之和。
例如，第4行第2个数3，是第3行第1个数1和第2个数2的和。
“发白才知智叟呆，埋头苦干向未来，
华罗庚
勤能补拙是良剂，一分辛苦一分才。”
现代应用
- 组合数：快速计算组合数，避免了复杂的阶乘运算。
- 数论：探究某些数的因数分解等问题。
- 计算机：帮助确定状态转移方程和计算最优解。
- 统计物理学：用于分析粒子系统状态分布等问题。
- 遗传学：帮助计算不同基因组合出现的概率
- 经济学：帮助分析不同投资组合的可能性
杨辉三角，作为数学史上的不朽丰碑，以其简洁而深邃的内涵，产生了辐射多领域的深远影响。在数学范畴，它宛如一把万能钥匙，开启组合数学、数论等研究的大门，让二项式系数的规律纤毫毕现，极大简化了复杂运算。在科学前沿，从物理微观世界的粒子分布，到遗传学的基因组合奥秘，都有杨辉三角的智慧烙印。计算机科学领域，它更是算法设计与数据结构优化的灵感源泉。杨辉三角不仅凝聚着古人的超凡智慧，还成为激发大众数学热情、培育逻辑思维的教育瑰宝，持续推动数学文化薪火相传。
杨辉三角：西方视角下的数学瑰宝
莱布尼茨
17世纪中后期至18世纪初德国数学家莱布尼茨对杨辉三角极为赞赏。他认为杨辉三角所呈现出的数字规律和对称性，是数学内在和谐与秩序的美妙体现，是上帝创造世界时所运用的数学智慧的绝佳例证，从中能深刻感受到数学的深邃与伟大，它不仅仅是一个数字排列，更是宇宙秩序在数学领域的一种映射。
拉普拉斯
18世纪中后期至19世纪初法国数学家拉普拉斯曾评价杨辉三角是组合数学领域的一座丰碑。他觉得杨辉三角以一种简洁而直观的方式，揭示了组合数的内在关系和规律，为概率论、数学分析等众多数学分支的发展提供了重要的基础和启示，其价值不可估量，是人类数学智慧的杰出结晶。